Análisis de Series de Tiempo y Pronósticos ARIMA
Estudio Empírico sobre el Precio de Acciones del QQQ
Camilo
04 de diciembre de 2025
1. Introducción
1.1 Relevancia del Análisis
[PLACEHOLDER: Explica la relevancia de QQQ, su importancia en el mercado global, volatilidad e impacto para inversionistas. Incluir contexto del Nasdaq-100 ETF.]
3. Metodología
La metodología adoptada sigue el procedimiento estándar de modelamiento de series temporales propuesto en la literatura Box-Jenkins: se particiona el conjunto de datos en un conjunto de entrenamiento destinado a la estimación de parámetros y validación de modelos candidatos, y un conjunto de prueba para evaluar la capacidad predictiva fuera de muestra. Este diseño respeta la naturaleza secuencial de datos financieros, evitando la fuga de información que comprometería la validez de los pronósticos.
3.1 Base de Datos
La base de datos utilizada proviene de Yahoo Finance, plataforma reconocida globalmente para obtención de datos financieros históricos de alta calidad y frecuencia diaria. Se extrajo información del ETF Invesco QQQ Trust (símbolo: QQQ), el cual replica el índice Nasdaq-100 compuesto por las 100 empresas no financieras de mayor capitalización bursátil listadas en el mercado Nasdaq, con fuerte concentración en sector tecnológico (Apple, Microsoft, NVIDIA, Amazon, Alphabet, Tesla, Meta).
La extracción se realizó mediante la función
getSymbols() del paquete quantmod de R,
automatizando la descarga directa desde fuente oficial. El período de
estudio abarca desde 7 de octubre de 2022 hasta 2 de diciembre de 2025,
capturando 791 observaciones diarias de precios de cierre. Este período
es particularmente informativo: incluye recuperación post-crisis 2022,
impulso del rally de inteligencia artificial (2023-2025), cambios en
política monetaria de la Reserva Federal, y volatilidad estructural del
sector tecnológico.
3.2 Variable de Análisis
El dataset se centra en una única variable cuantitativa de interés: precio de cierre diario del ETF QQQ. Esta variable representa el último precio de negociación durante cada sesión bursátil y es la medida estándar en análisis técnico y modelización de series financieras.
La elección del precio de cierre se fundamenta en que: (i) refleja el consenso del mercado al finalizar cada sesión, incorporando información completa del día; (ii) es el referente para cálculo de rendimientos y valoración de portafolios; (iii) es utilizado en la mayoría de indicadores técnicos y modelos predictivos; (iv) su disponibilidad es consistente sin interrupciones en días hábiles.
3.3 Partición Temporal de Datos
En análisis de series temporales, la partición de datos debe respetar el orden cronológico, diferenciándose fundamentalmente de validación cruzada aleatoria. La estrategia implementada divide la serie en dos subconjuntos contiguos:
Conjunto de Entrenamiento: Comprende la mayoría de observaciones históricas (aproximadamente 95% de datos), utilizado para identificar parámetros óptimos del modelo ARIMA, estimar coeficientes y evaluar criterios de información.
Conjunto de Prueba: Representa período posterior no utilizado durante ajuste (aproximadamente 5% de datos), destinado a evaluar capacidad predictiva en escenario realista de pronóstico.
Esta metodología es esencial porque: (i) evita “fuga de información” (data leakage) donde datos futuros influirían en predicción del pasado; (ii) mantiene estructura cronológica respetando dependencias temporales inherentes a series financieras; (iii) simula condiciones reales donde pronósticos se generan sin conocimiento de valores posteriores; (iv) proporciona métricas objetivas de desempeño ex-post que validan capacidad predictiva genuina.
3.4 Marco Conceptual: Modelos ARIMA(p,d,q)
Los modelos ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average), desarrollados por Box y Jenkins en 1970, constituyen metodología sistemática y robusta para análisis y pronóstico de series temporales. Se fundamentan en la idea de que el valor actual de una serie puede explicarse mediante: (i) sus valores históricos (componente autorregresivo), (ii) transformaciones que alcancen estacionariedad (componente integrador), o (iii) errores de pronóstico pasados (componente de media móvil).
A diferencia de modelos de regresión que requieren variables explicativas externas, los modelos ARIMA son univariados, extrayendo toda información predictiva de la propia historia de la serie. Esta característica los hace especialmente valiosos en contextos financieros donde no se dispone de predictores externos confiables, o donde el objetivo es capturar dinámicas intrínsecas de evolución temporal.
3.4.1 Componente Autorregresivo AR(p)
El modelo AR(p) pronostica la variable utilizando combinación lineal de sus valores pasados:
\[y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t\]
donde: - \(y_t\) es el valor de la serie en tiempo \(t\) - \(c\) es constante (intercepto o drift) - \(\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_p\) son coeficientes autorregresivos que miden influencia de cada rezago - \(\varepsilon_t\) es término de error (ruido blanco) con \(E[\varepsilon_t]=0\) y varianza \(\sigma^2\) constante
El coeficiente \(\phi_1\) en AR(1) indica persistencia de la serie: valores cercanos a 1 implican alta persistencia (shocks tienen efectos duraderos), mientras que valores cercanos a 0 indican reversión rápida a media. Para que modelo sea estacionario, los coeficientes deben satisfacer restricciones específicas (raíces del polinomio característico fuera del círculo unitario).
La interpretación económica es que si una serie ha estado elevada en período anterior, tiende a permanecer elevada actualmente, capturando inercia o persistencia en comportamiento de variable.
3.4.2 Componente de Media Móvil MA(q)
El modelo MA(q) utiliza errores de pronóstico pasados en lugar de valores históricos de variable:
\[y_t = c + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q}\]
donde \(\theta_1, \ldots, \theta_q\) son coeficientes de media móvil.
La interpretación económica es que shocks o sorpresas en serie tienen efectos transitorios que se disipan gradualmente. Esto captura comportamientos donde precios regresan a nivel promedio tras perturbación, en lugar de permanecer desplazados permanentemente. En contextos financieros, MA modela la reversión a media que caracteriza a mercados relativamente eficientes en corto plazo.
3.4.3 Componente de Integración I(d)
Muchas series económicas y financieras no son estacionarias en forma original, presentando tendencias, medias cambiantes, o varianzas no constantes. Una serie estacionaria tiene propiedades estadísticas (media, varianza, autocovarianzas) invariantes en tiempo; una serie no-estacionaria exhibe comportamientos dependientes del momento observado.
El componente de integración aborda esto mediante diferenciación, transformación que calcula cambios entre observaciones consecutivas:
\[y'_t = y_t - y_{t-1} = \Delta y_t\]
Esta operación (primera diferencia) elimina tendencias lineales y estabiliza media. Si una diferencia es insuficiente para estacionariedad, se aplica segunda diferencia:
\[y''_t = y'_t - y'_{t-1} = \Delta^2 y_t\]
El parámetro \(d\) indica número de diferencias necesarias para que serie se vuelva estacionaria. Una serie que requiere \(d\) diferencias se denomina “integrada de orden \(d\)”, denotada I(d). En práctica, rara vez se requieren más de dos diferencias; para series financieras como precios de activos, típicamente \(d=1\) es suficiente.
3.4.4 Formulación Compacta con Operador de Rezago
Combinando los tres componentes, el modelo ARIMA(p,d,q) se expresa compactamente usando operador de rezago \(B\) (donde \(B y_t = y_{t-1}\)):
\[\Phi(B)(1-B)^d y_t = c + \Theta(B) \varepsilon_t\]
donde: - \(\Phi(B) = 1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2 - \cdots - \phi_p B^p\) es polinomio autorregresivo - \((1-B)^d\) es operador de diferenciación aplicado \(d\) veces - \(\Theta(B) = 1 + \theta_1 B + \theta_2 B^2 + \cdots + \theta_q B^q\) es polinomio de media móvil
Esta representación facilita análisis teórico y derivación de propiedades estadísticas. Su elegancia radica en capturar dinámicas complejas mediante combinación sistemática de componentes que actúan en niveles distintos: AR modela persistencia, MA modela efectos de shocks transitorios, I transforma serie hacia propiedades deseadas.
3.4.5 Supuestos Fundamentales del Modelo
Para que inferencias y pronósticos derivados de ARIMA sean válidos y confiables, deben cumplirse supuestos sobre naturaleza de serie y sus residuos:
Estacionariedad: Serie temporal debe presentar estacionariedad en media y varianza, i.e., propiedades estadísticas permanecen aproximadamente constantes en tiempo. Esto asegura que relaciones identificadas entre observaciones son estables y predecibles, en lugar de resultado de tendencias determinísticas no modeladas.
Ruido Blanco en Residuos: Los residuos del modelo ajustado deben comportarse como secuencia aleatoria e independiente sin patrones sistemáticos. Si residuos contienen estructura, sugiere que modelo no ha capturado completamente dinámica temporal, requiriendo respecificación.
Homocedasticidad: Se asume que errores tienen varianza constante a través del tiempo. Violaciones (heteroscedasticidad o volatilidad que cambia en tiempo) comprometen precisión de intervalos de confianza.
Normalidad de Residuos: Aunque no es estrictamente necesaria para estimación del modelo, la normalidad es deseable para construcción precisa de intervalos de confianza y validez de pruebas de hipótesis sobre parámetros.
3.5 Herramientas Estadísticas para Identificación y Validación
3.5.1 Prueba Aumentada de Dickey-Fuller (ADF)
La estacionariedad es requisito previo fundamental antes de modelización ARIMA. Una serie no-estacionaria produciría inferencias engañosas y pronósticos poco confiables.
La Prueba Aumentada de Dickey-Fuller (ADF) es contraste estadístico estándar para evaluación formal. Contrasta: - \(H_0\): Serie tiene raíz unitaria (no-estacionaria) - \(H_1\): Serie es estacionaria
El resultado de esta prueba determina el orden de integración \(d\): si serie original rechaza \(H_0\) (p-valor < 0.05), se procede a diferenciar y repetir hasta lograr estacionariedad. El estadístico ADF compara contra valores críticos tabulados; si estadístico de prueba es más negativo que valor crítico (mayor en magnitud), se rechaza \(H_0\).
3.5.2 Funciones de Autocorrelación: ACF y PACF
Las funciones de autocorrelación proporcionan diagnóstico visual fundamental para entender patrones de dependencia temporal y sugerir especificaciones ARIMA iniciales.
Función de Autocorrelación (ACF): Cuantifica correlación lineal entre observaciones separadas por rezagos 1, 2, …, k. Su comportamiento es diagnóstico: - En series estacionarias: ACF decae gradualmente hacia cero - En series no-estacionarias: ACF persiste en valores altos durante muchos rezagos
Para identificación de modelo, ACF es especialmente útil para distinguir procesos MA(q): un corte abrupto después de rezago \(q\) (i.e., autocorrelaciones significativas hasta lag \(q\) luego caen a cero dentro de bandas) sugiere componente MA(q).
Función de Autocorrelación Parcial (PACF): Elimina influencia de rezagos intermedios, aislando efecto directo de cada rezago sobre presente. Es especialmente informativa para identificar procesos AR(p): un corte abrupto después de rezago \(p\) sugiere componente AR(p).
El análisis combinado de ACF y PACF proporciona indicios valiosos sobre especificación inicial del modelo, aunque debe complementarse con criterios estadísticos formales.
3.5.3 Búsqueda Automática: Función auto.arima()
En práctica moderna, la función auto.arima() automatiza
gran parte del proceso de identificación mediante algoritmos de búsqueda
sistemática. Realiza búsqueda sobre rango especificado de valores para
\(p\), \(d\) y \(q\), evaluando cada combinación mediante
criterios de información como AICc.
Sin embargo, es importante reconocer limitaciones: un modelo automatizado puede omitir especificaciones que, aunque menos óptimas según criterios puramente estadísticos, podrían ser preferibles bajo consideraciones teóricas o interpretativas. Por ello, resulta valioso complementar búsqueda automática con análisis visual de ACF/PACF, permitiendo que teoría económica y conocimiento del dominio del problema informen especificación final.
3.5.4 Criterios de Selección del Modelo: AICc
Cuando múltiples especificaciones ARIMA son candidatas, es necesario criterio objetivo para elegir entre ellas. Los criterios de información cumplen este rol al balancear calidad del ajuste con complejidad del modelo.
El AICc (Criterio de Información de Akaike Corregido) es criterio más utilizado en práctica para selección de modelos ARIMA. Evalúa verosimilitud del modelo (qué tan bien se ajusta a datos) y aplica penalización por agregar parámetros adicionales, reduciendo tendencia al sobreajuste. Su fórmula es:
\[\text{AICc} = \text{AIC} + \frac{2(p+q+k+1)(p+q+k+2)}{T-p-q-k-2}\]
donde: - \(T\) es número de observaciones - \(p\) y \(q\) son órdenes del modelo ARIMA - \(k\) es número de parámetros adicionales (como constante)
El término adicional respecto al AIC clásico corrige sesgo que ocurre en muestras pequeñas. Especificaciones con menor AICc son preferibles, indicando mejor balance entre ajuste y parsimonia.
Aspecto crítico: Criterios de información NO son aplicables para seleccionar orden de diferenciación \(d\), pues diferenciación altera escala de datos sobre cual se computa verosimilitud, haciendo valores de AICc no comparables entre modelos con diferente \(d\). Por ello, parámetro \(d\) se determina primero mediante pruebas de estacionariedad (ADF), y AICc se utiliza posteriormente para optimizar órdenes \(p\) y \(q\).
3.5.5 Diagnóstico de Residuos: Prueba de Ljung-Box
Después de ajustar modelo ARIMA específico, es necesario verificar que modelo haya capturado adecuadamente estructura temporal.
La Prueba de Ljung-Box es contraste estadístico que evalúa si existe autocorrelación significativa en residuos. Contrasta: - \(H_0\): Residuos son ruido blanco independiente (sin autocorrelación) - \(H_1\): Residuos contienen autocorrelación significativa
Si residuos conservan autocorrelación, es señal de que modelo especificado no ha extraído completamente información temporal disponible, requiriendo respecificación con órdenes más altos. Un p-valor elevado (> 0.05) indica que residuos se comportan consistentemente con ruido blanco, suministrando confianza en que modelo ha cumplido su propósito de modelar adecuadamente dinámica temporal de serie.
3.6 Procedimiento Metodológico: Metodología Box-Jenkins
La metodología Box-Jenkins propone proceso iterativo sistemático para modelización ARIMA. El procedimiento implementado en este análisis sigue estos pasos secuenciales:
Paso 1: Determinación del Orden de Integración (d)
Se evalúa estacionariedad de serie mediante pruebas formales (ADF) y análisis visual de ACF. Se identifica número de diferencias necesarias para que serie se vuelva estacionaria: - Si serie original es estacionaria: \(d=0\) - Si primera diferencia es estacionaria: \(d=1\) - Si segunda diferencia es estacionaria: \(d=2\)
El parámetro \(d\) es determinado independientemente de \(p\) y \(q\), antes de cualquier comparación de criterios de información.
Paso 2: Análisis Exploratorio de ACF y PACF
Se examinan gráficos de autocorrelación para serie potencialmente diferenciada, obteniendo sugerencias preliminares sobre órdenes \(p\) y \(q\): - Si ACF corta abruptamente en lag \(q\): sugiere MA(q) - Si PACF corta abruptamente en lag \(p\): sugiere AR(p) - Si ambos decaen gradualmente: sugiere proceso mixto ARMA(p,q)
Paso 3: Identificación de Modelos Candidatos
Se identifican especificaciones ARIMA plausibles basadas en: -
Análisis visual de ACF/PACF - Búsqueda automática mediante
auto.arima() - Consideraciones de parsimonia (preferir
modelos simples) - Teoría económica/financiera sobre comportamiento de
variable
Se ajustan múltiples modelos candidatos con diferentes combinaciones de \((p,d,q)\).
Paso 4: Estimación Comparativa y Selección
Se comparan especificaciones mediante: - Criterios de información (AICc, AIC, BIC) - Métricas de precisión en datos de entrenamiento (RMSE, MAE, MAPE) - Principio de parsimonia: preferir modelos más simples si diferencias en ajuste son marginales
Se selecciona modelo que balancéa mejor ajuste con complejidad.
Paso 5: Validación Diagnóstica de Residuos
Se examinan residuos del modelo seleccionado mediante: - Análisis gráfico temporal de residuos (verificar media cero, varianza constante) - Gráfico de ACF de residuos (verificar ausencia de autocorrelación) - Q-Q plot (verificar aproximación a normalidad) - Prueba de Ljung-Box (verificar formalmente que residuos son ruido blanco)
Si residuos no se comportan como ruido blanco, se regresa a Paso 3 para respecificación.
Paso 6: Generación de Pronósticos
Una vez validado modelo, se procede a: - Pronósticos puntuales sobre conjunto de prueba - Intervalos de confianza (típicamente 95%) que cuantifican incertidumbre - Evaluación ex-post comparando predicciones contra valores reales observados
3.7 Métricas de Evaluación del Desempeño Predictivo
Para evaluar objetivamente precisión de pronósticos generados por modelo ARIMA en conjunto de prueba, se emplean métricas cuantitativas estándar:
RMSE (Root Mean Squared Error):
\[\text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} (\hat{y}_t - y_t)^2}\]
Amplifica penalizaciones sobre errores grandes, siendo sensible a presencia de valores atípicos en errores de pronóstico. Útil para identificar si modelo comete errores sistemáticamente grandes en algún período.
MAE (Mean Absolute Error):
\[\text{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} |\hat{y}_t - y_t|\]
Proporciona medida de error promedio menos sensible a outliers que RMSE, ofreciendo perspectiva más robusta de desempeño general. Tiene interpretación directa: en promedio, predicciones desviación esta cantidad del valor real.
MAPE (Mean Absolute Percentage Error):
\[\text{MAPE} = \frac{100}{n} \sum_{t=1}^{n} \left| \frac{y_t - \hat{y}_t}{y_t} \right|\]
Expresa error como porcentaje relativo del valor observado, permitiendo comparabilidad del desempeño independientemente de magnitud absoluta de valores predichos. Especialmente útil en contextos financieros donde escala de precios varía.
Cobertura de Intervalos de Confianza:
Se evalúa proporción de valores reales que caen dentro de intervalos de confianza predichos (típicamente 95%). Una calibración correcta sugiere que incertidumbre fue estimada apropiadamente; demasiadas observaciones fuera del intervalo sugiere que modelo subestimó volatilidad.
2. Descripción de la Serie Temporal
2.1 Contexto Histórico y Datos
[PLACEHOLDER: Contexto completo del QQQ (Nasdaq-100 ETF), período de análisis seleccionado (octubre 2022 - presente), eventos significativos que han afectado el precio (crisis de volatilidad, cambios de política monetaria, rally de IA, etc.)]
serie_QQQ <- getSymbols("QQQ", src="yahoo", auto.assign=FALSE, from="2015-01-01")
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